1-1 บทนำ

ระบบตัวเลขที่รู้จักกันมากที่สุด คือ ระบบฐานสิบ มีเลข 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 รวม 10 ตัว ใช้ในการนับจ านวน ดังนั้นจึงก าหนดตัวเลขทั้ง 10 ตัวนี้ว่า เลขฐานสิบ (Decimal number) ซึ่ง สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าตัวเลขจ านวนต่าง ๆ นั้นมีค่าไม่ซ้ ากัน ค่าของตัวเลขที่มีค่ามากกว่า 9 ขึ้นไป ก็เป็นจ านวนตัวเลขที่น ามาเรียงประกอบกันขึ้นใหม่ ในระบบเลขฐานสิบ ปริมาณที่ แสดงออกมาจะแสดงโดยค่าและต าแหน่งของตัวเลข เช่น ตัวเลข 5,648.243

จะเห็นว่าต าแหน่งของตัวเลขมีความส าคัญแตกต่างกัน โดย เรียงความส าคัญจากน้อยไปหามาก เริ่มจากความส าคัญน้อยสุดอยู่ทาง ขวามือ และเรียงล าดับความส าคัญเพิ่มขึ้นเป็นล าดับเรื่อย ๆ ทางซ้ายมือ

1-2 ระบบตัวเลข (Number Systems)

 ระบบตัวเลขแต่ละระบบจะมีจ านวนตัวเลขที่ใช้เหมือนกับชื่อของระบบตัวเลขนั้น และมี ฐานของจ านวนเลขตามชื่อตัวเลขนั้นด้วย
1-2-1 เลขฐานสอง (Binary number system) ประกอบด้วยเลข 2 ตัวคือ 0 และ 1 เท่านั้น แต่ถ้าน าตัวเลขทั้งสองจ านวนมาเรียงประกอบ กันขึ้นหลาย ๆ หลัก จะเรียกแต่ละหลักว่า บิต (Bit) เช่น
               01 มีค่าเท่ากับ 2 บิต
           0101 มีค่าเท่ากับ 4 บิต
   01010101 มีค่าเท่ากับ 8 บิต
1-2-2 เลขฐานแปด (Octal number system) ประกอบด้วยเลข 8 ตัวคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ตัวเลขทั้ง 8 ตัว นี้จะมีค่าเกินเลข 7 ไม่ได้แต่สามารถน ามาเรียงประกอบกันขึ้นได้ เช่น (4536) 8
1-2-3 เลขฐานสิบหก (Hexadecimal number system) ประกอบด้วยเลข 16 ตัวคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ตัวเลขทั้ง 16 ตัวนี้ เป็นเลขของฐานสิบหก และต้องมีค่าไม่เกินเลข F ด้วย เหตุที่ตัวเลขมากกว่า 9 ต้องเขียนเป็น อักษร A, B, C, D, E, F ทั้งนี้เพื่อไม่ท าให้ตัวเลขซ้ ากัน ดังนั้นเพื่อความเข้าใจ A ในที่นี้คือ 10 B คือ 11, C คือ 12, D คือ 13, E คือ 14 และ F คือ 15

1-3 การแปลงเลขฐานของระบบตัวเลข

 การใช้เลขฐานที่ต่างกัน ๆ ร่วมกันตั้งแต่ 2 ฐานขึ้นไป ท าให้เกิดการสับสน เกี่ยวกับค่าของตัวเลขนั้น เช่น (11011) 2 มีค่าเท่ากับเท่าไรในฐานสิบ หรือ (346) 8 มีค่าเท่ากับ เท่าไรในฐานสอง เป็นต้น ดังนั้นจึงจ าเป็นต้องแปลงเลขให้อยู่ในฐานเดียวกัน การแปลงเลข จากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่งนั้น จะเกี่ยวข้องเฉพาะเลขฐานสอง เลขฐานแปด และ เลขฐานสิบหก
 1. การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก
 2. การแปลงเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก เป็นเลขฐานสิบ
 3. การแปลงเลขระหว่างฐานสองและฐานแปด
 4. การแปลงเลขระหว่างฐานสองและฐานสิบหก
 5. การแปลงเลขระหว่างฐานแปดและฐานสิบหก
1-3-1 การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานอื่น แบ่งวิธีการแปลงเป็น 2 ส่วนคือ ส่วนของเลข จ านวนเต็ม และส่วนของเลขทศนิยม 1. จ านวนเต็ม ท าได้โดยการหาเลขฐานสิบที่ต้องการแปลงด้วยฐานของเลขที่ ต้องการหลาย ๆ ครั้ง จนหากต่อไปอีกไม่ได้ เศษที่เหลือจากการหารแต่ละครั้ง

คือ ค าตอบที่ต้องการ เศษที่เหลือจากการหารครั้งแรก เป็นตัวที่มีนัยความส าคัญน้อยที่สุด (Least significant digit หรือ LSD) และเศษที่เหลือจากการหารครั้งสุดท้าย เป็นตัวที่มีนัยความส าคัญสูงที่สุด (Most significant



2. ทศนิยม ท าได้โดยการคูณจ านวนทศนิยมนั้นด้วยฐานของตัวเลขที่ต้องการหลาย ๆ ครั้ง จนคูณต่อไปอีกไม่ได้ หรือเท่าจ านวนทศนิยมที่ต้องการ ผลลัพธ์จากการ คูณที่เป็นเลขจ านวนเต็มก็คือค าตอบที่ต้องการ โดยเรียงล าดับนัยความส าคัญ จากการคูณครั้งแรกมีนัยความส าคัญมากที่สุด และการคูณครั้งสุดท้ายมีนัย ความส าคัญน้อยที่สุด

การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบที่กล่าวมาแล้ว เป็นวิธีการที่ท าตามล าดับขั้น หากต้องการท าด้วยวิธีลัด สามารถท าได้ดังนี้ 

1. เขียนเลขฐานสองเรียงจากซ้ายไปขวา 

2. เขียนค่าประจ าหลักของเลขฐานสองเรียงจากขวาไปซ้าย จากค่าน้อยไปหาค่ามาก เฉพาะค่าที่เป็น 1 3. รวมค่าประจ าหลักทั้งหมดเข้าด้วยกัน

1-3-3 การแปลงเลขระหว่างฐานสองและฐานแปด การแปลงเลขระหว่างฐานสองและฐานแปด ท าได้โดยการแปลงให้เป็นเลขฐานสิบ ก่อน แล้วน าเลขฐานสิบที่ได้ แปลงเป็นฐานที่ต้องการต่อไป แต่วิธีการนี้จะเป็นวิธีที่ยุ่งยาก และเสียเวลาในการท ามาก จึงใช้หลักการว่า เลขฐานแปด 1 ตัว สามารถแทนด้วยเลขฐานสอง 3 บิต ดังนั้นการแปลงเลขระหว่างฐานสองและฐานแปด ท าได้โดยการแทนค่าต่าง ๆ ตาม ตารางที่ 1-3

การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด ท าได้โดยแบ่งเลขฐานสองออกเป็นชุด ๆ ละ 3 บิต โดยนับจากทางขวามาทางซ้าย ถ้าชุดสุดท้ายมีไม่ถึง 3 บิต ให้เติม 0 ลงไป แต่ถ้าเป็น ทศนิยมการแบ่งเป็นชุดให้นับจากทางซ้ายไปทางขวา

1-3-4 การแปลงเลขระหว่างฐานสองและฐานสิบหก การแปลงเลขระหว่างฐานสองและฐานสิบหก สามารถท าได้โดยการแปลง เป็นเลขฐานสิบก่อน ส่วนวิธีที่ง่ายก็คล้าย ๆ กับการแปลงเลขระหว่างฐานสองและฐานแปด ต่างกันเพียงเลขฐานสิบหก 1 ตัว สามารถแทนด้วยเลขฐานสอง 4 บิต ดังแสดงในตารางที่ 1-4

1-3-5 การแปลงเลขระหว่างฐานแปดและฐานสิบหก การแปลงเลขระหว่างฐานแปดและฐานสิบหก มีวิธีท าได้หลายวิธี แต่วิธีที่ง่ายที่สุด คือ แปลงเลขที่ต้องการเปลี่ยนฐานให้เป็นเลขฐานสองก่อน แล้วจึงแปลงต่อให้เป็นฐานที่ต้องการ 

1-4 การบวกและลบเลขฐานสอง

 1-4-1 การบวกเลขฐานสอง (Binary addition) การบวกเลขฐานสองมีหลักการบวกเหมือนกันกับบวกเลขฐานสิบ คือ เมื่อผลบวกมีค่า มากกว่าค่าหลัก จะต้องทด 1 ไปยังหลักที่สูงกว่าดังนี้

1-4-2 การลบเลขฐานสอง (Binary subtraction) การลบเลขฐานสองกระท าได้โดยใช้หลักต่อไปนี้

กรณีตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบ การลบกันก็ต้องมีการยืมหลักที่มีค่ามากกว่ามา 1 เพื่อให้เป็น 10 แล้วจึงน าไปลบ 1 ได้ผลลัพธ์ คือ 1 และหลักมากกว่าที่ถูกยืมมาจะเหลือ 0 แต่ถ้าหลักที่ มากกว่าเป็น 0 ต้องยืมหลักถัดไปเรื่อย ๆ โดยตัวที่ถูกยืมต่อไปจะมีค่าเหลือ 1 โดยหลักที่ยืม เป็นตัวสุดท้ายจะมีค่าเป็น 10

1-5 การบวกและลบเลขฐานแปด

1-5-1 การบวกเลขฐานแปด (Octal addition)
หลักการบวกคือ ให้บวกเหมือนกับการบวกเลขฐานสิบ ถ้าผลของการบวกเกิน 7 ได้
ผลบวกแล้วลบด้วยค่าฐาน (8) ผลของการลบคือค่าในตำแหน่งนั้นแล้วทด 1ไปตำแหน่งที่สูง
กว่าแต่ถ้าผลบวกไม่เกิน 8 ค่านั้นคือคำตอบ

1-5-2 การลบเลขฐานแปด (Octal subtraction)
การลบเลขฐานแปด กระท าเหมือนเลขฐานสิบ แต่ถ้าตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวลบ ต้องมี
การยืมหลักที่มีค่ามากกว่า ซึ่งเท่ากบ 8 แล้วจึงลบออก

1-6 การบวกและลบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal addition and subtraction)

การบวกเลขฐานสิบหก ถ้าบวกกันแล้วได้ผลลัพธ์เกิน 15 ให้ใช้ 16 ลบด้วยเลขดังกล่าว จะได้ผลลัพธ์ แล้วทดไปหลักที่มากกว่าเท่ากับ 1แต่ถ้าบวกกันแล้วไม่เกิน 15ก็คือได้ค าตอบ การลบที่เช่นกัน ถ้าตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบให้ยืมหลักที่มีค่ามากกว่า 1 ซึ่งเท่ากับ 16แล้วจึงลบได้